# EXPLAIN EXTENDED

How to create fast database queries

## Happy New Year: drawing fractals in SQL

In one of my previous New Year's posts we drew snowflakes in PostgreSQL.

The algorithm we used to create the snowflakes is an implementation of an L-system, which is an example of a fractal. There are many more beautiful objects we can see in the winter: frozen trees, frost patterns on windows, cracks on ice etc., all of them being fractals.

Today we will be constructing escape-time fractals. To build such a fractal, one would need to run a certain function for each point on the plane iteratively and see how many iterations does it take for the function to overflow: the more it takes, the brighter is the point's color.

I won't go deep into fractal theory now, just show that they can be constructed with SQL relatively easily. For instance, Mandelbrot set, one of the best known escape-time fractals, is almost a one-liner in PostgreSQL:

```WITH    RECURSIVE
q (r, i, rx, ix, g) AS
(
SELECT  r::DOUBLE PRECISION * 0.02, i::DOUBLE PRECISION * 0.02, .0::DOUBLE PRECISION, .0::DOUBLE PRECISION, 0
FROM    generate_series(-60, 20) r, generate_series(-50, 50) i
UNION ALL
SELECT  r, i, CASE WHEN ABS(rx * rx + ix * ix) <= 2 THEN rx * rx - ix * ix END + r, CASE WHEN ABS(rx * rx + ix * ix) <= 2 THEN 2 * rx * ix END + i, g + 1
FROM    q
WHERE   rx IS NOT NULL
AND g < 99
)
SELECT  ARRAY_TO_STRING(ARRAY_AGG(s ORDER BY r), '')
FROM    (
SELECT  i, r, SUBSTRING(' .:-=+*#%@', MAX(g) / 10 + 1, 1) s
FROM    q
GROUP BY
i, r
) q
GROUP BY
i
ORDER BY
i
```
array_to_string
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101 rows fetched in 0.0011s (1.5469s)

Its closest relative, the Burning Ship, is also simple:

```WITH    RECURSIVE
q (r, i, rx, ix, g) AS
(
SELECT  r::DOUBLE PRECISION * 0.04, i::DOUBLE PRECISION * 0.04, .0::DOUBLE PRECISION, .0::DOUBLE PRECISION, 0
FROM    generate_series(-40, 20) r, generate_series(-40, 20) i
UNION ALL
SELECT  r, i, CASE WHEN ABS(rx * rx + ix * ix) <= 1E8 THEN rx * rx - ix * ix END + r, CASE WHEN ABS(rx * rx + ix * ix) <= 2 THEN ABS(2 * rx * ix) END + i, g + 1
FROM    q
WHERE   rx IS NOT NULL
AND g < 99
)
SELECT  ARRAY_TO_STRING(ARRAY_AGG(s ORDER BY r), '')
FROM    (
SELECT  i, r, SUBSTRING(' .:-=+*#%@', MAX(g) / 10 + 1, 1) s
FROM    q
GROUP BY
i, r
) q
GROUP BY
i
ORDER BY
i
```
array_to_string
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....
61 rows fetched in 0.0006s (0.4588s)

Now let's build something more wintery and New Year-y. For instance, this Julia set looks quite similar to cracks on ice:

```WITH    RECURSIVE
q (r, i, rx, ix, g) AS
(
SELECT  r::DOUBLE PRECISION * 0.000001, i::DOUBLE PRECISION * 0.000001,
r::DOUBLE PRECISION * 0.000001, i::DOUBLE PRECISION * 0.000001,
0
FROM    generate_series(-40, 40) r, generate_series(-50, 50) i
UNION ALL
SELECT  r, i,
CASE WHEN ABS(rx * rx + ix * ix) < 1E8 THEN rx * rx - ix * ix END + 0,
CASE WHEN ABS(rx * rx + ix * ix) < 1E8 THEN 2 * rx * ix END + 1,
g + 1
FROM    q
WHERE   rx IS NOT NULL
AND g < 99
)
SELECT  ARRAY_TO_STRING(ARRAY_AGG(s ORDER BY r), '')
FROM    (
SELECT  i, r, SUBSTRING(' .:-=+*#%@', MAX(g) / 10 + 1, 1) s
FROM    q
GROUP BY
i, r
) q
GROUP BY
i
ORDER BY
i
```
array_to_string
------==-----------------------------------------------::::::::::::::::::::::::::
-------==-----------------------------------------------:::::::::::::::::::::::::
--------=+----------------------------------------------:::::::::::::::::::::::::
---------==---------------------------------------------:::::::::::::::::::::::::
--------==-----------------------------------------------::::::::::::::::::::::::
---------=-----------------------------------------------::::::::::::::::::::::::
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::::::::::::::::::::::::::-----------------------------------------------==------
101 rows fetched in 0.0011s (0.9688s)

And this one resembles frost patterns on windows:

```WITH    RECURSIVE
q (r, i, rx, ix, g) AS
(
SELECT  r::DOUBLE PRECISION * 0.0002, i::DOUBLE PRECISION * 0.0002,
r::DOUBLE PRECISION * 0.0002, i::DOUBLE PRECISION * 0.0002,
0
FROM    generate_series(-200, -120) r, generate_series(0, 100) i
UNION ALL
SELECT  r, i,
CASE WHEN ABS(rx * rx + ix * ix) < 1E8 THEN rx * rx - ix * ix END - 0.70176,
CASE WHEN ABS(rx * rx + ix * ix) < 1E8 THEN 2 * rx * ix END + 0.3842,
g + 1
FROM    q
WHERE   rx IS NOT NULL
AND g < 99
)
SELECT  ARRAY_TO_STRING(ARRAY_AGG(s ORDER BY r), '')
FROM    (
SELECT  i, r, SUBSTRING(' .:-=+*#%@', MAX(g) / 10 + 1, 1) s
FROM    q
GROUP BY
i, r
) q
GROUP BY
i
ORDER BY
i
```
array_to_string
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:::::::::::::::::::::::::::::::::::-==---===--+#----:::::::::::::::::::::::::::::
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101 rows fetched in 0.0011s (1.2188s)

Finally, this beautiful Julia set (known as Glynn set) looks like a snow-covered tree:

```WITH    RECURSIVE
q (r, i, rx, ix, g) AS
(
SELECT  x + r::DOUBLE PRECISION * step, y + i::DOUBLE PRECISION * step,
x + r::DOUBLE PRECISION * step, y + i::DOUBLE PRECISION * step,
0
FROM    (
SELECT  0.25 x, -0.55 y, 0.002 step, r, i
FROM    generate_series(-40, 40) r
CROSS JOIN
generate_series(-40, 40) i
) q
UNION ALL
SELECT  r, i,
CASE WHEN (rx * rx + ix * ix) < 1E8 THEN (rx * rx + ix * ix) ^ 0.75 * COS(1.5 * ATAN2(ix, rx)) END - 0.2,
CASE WHEN (rx * rx + ix * ix) < 1E8 THEN (rx * rx + ix * ix) ^ 0.75 * SIN(1.5 * ATAN2(ix, rx)) END,
g + 1
FROM    q
WHERE   rx IS NOT NULL
AND g < 99
)
SELECT  ARRAY_TO_STRING(ARRAY_AGG(s ORDER BY r), '')
FROM    (
SELECT  i, r, SUBSTRING(' .:-=+*#%@', MAX(g) / 10 + 1, 1) s
FROM    q
GROUP BY
i, r
) q
GROUP BY
i
ORDER BY
i
```
array_to_string
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::------------------------::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::-------------------------------------:::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::----------------------------------------------::::::::::::::::::::::
::::::::::-----------------------------------------------------::::::::::::::::::
::::::---------------=====+*@@@@@@@@@@@@*+=======-----------------:::::::::::::::
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81 rows fetched in 0.0010s (2.5781s)

You can run the queries live on http://sqlfiddle.com (don't forget to select Plaintext Output in the drop-down menu next to Run SQL):

Happy New Year!

Previous New Year posts:

Written by Quassnoi

December 31st, 2013 at 11:00 pm

### 5 Responses to 'Happy New Year: drawing fractals in SQL'

1. Haha, beautiful! OK, you’re nuts :-) Happy New Year!

Lukas Eder

1 Jan 14 at 14:10

2. @lukaseder: Turing complete SQL made me nuts! Happy New Year to you too!

Quassnoi

1 Jan 14 at 21:36

3. Clean and pretty. Thanks and happy New Year!

Vincent Gagne

3 Jan 14 at 09:16

4. Hi,
what is the Oracle version of Mandelbrot?